УДК 535.313.2

 

 

В настоящее время благодаря разработке новых высокоточных асферических крупногабаритных оптических деталей, предназначенных для систем наземного и космического базирования, получены принципиально новые научно-технические результаты в области астрономических и космических исследований. Такие системы обеспечивают высококачественное изображение наблюдаемого объекта, в предельном случае – дифракционного качества [1-3].

Задача получения высококачественных поверхностей асферических крупногабаритных оптических деталей при использовании классической технологии формообразования, основанной на методе проб и ошибок, а также интуиции профессионала-оптика весьма проблематична, а её решение непредсказуемо по времени. Вследствие этого трудоёмкость изготовления современных высокоточных оптических деталей чрезвычайно велика. Особенно трудоёмкими являются операции окончательной доводки поверхности, которые составляют 70 – 80% от общей трудоёмкости изготовления деталей. Иначе говоря, классические методы формообразования уже не могут в полной мере обеспечить получение требуемого в настоящее время качества оптических поверхностей различного класса.

Кардинальной мерой в решении стоящих перед оптической отраслью задач является создание технологического комплекса для формообразования и точной доводки поверхностей крупногабаритных оптических деталей автоматизированным способом. Разрабатываемый комплекс должен реализовать автоматизированный процесс формообразования оптических поверхностей с использованием специального оборудования, контрольно- юстировочных приборов и оснастки.

В рамках такого комплекса целенаправленный управляемый процесс доводки поверхности до высокого качества должен осуществляться на основе программно-математического обеспечения с помощью алгоритмических моделей процесса автоматизированного формообразования высокоточных крупногабаритных оптических асферических деталей, определяющих съём стекла [4-5]. В результате появляется возможность исследовать особенности поведения материала заготовок и деформационно-тепловые эффекты, возникающие в процессах обработки, транспортировки и установки детали в схему контроля.

Расчёт съёма стекла и времени обработки (пребывания инструмента на элементарных квадратных обрабатываемых участках) с целью полирования оптических поверхностей является отправным моментом разработки алгоритмической модели (АлгртмМ) процесса автоматизированного формообразования высокоточных крупногабаритных оптических асферических деталей. Известны различные способы математического моделирования расчёта съёма и времени обработки детали [4-5], но все они сводятся к сложным вычислительным работам, требующим большого объёма оперативной памяти ЭВМ для решения системы из большого числа уравнений.

Одновременно математическая модель должна быть адекватна реальным процессам формообразования, чтобы обеспечивать высокую точность изготовления формы поверхности в процессе автоматизированного полирования, который минимизирует время обработки.

1. Постановка задачи итерационного процесса расчёта съёма стекла

Структурная схема восьмиступенчатого алгоритма автоматизированной обработки интерферограмм для построения топографической карты контролируемой поверхности приведён на рис. 1. Он служит для формирования исходных данных с целью последующего моделирования процесса формообразования оптических поверхностей.

Идентифицировано восемь ступеней: 1) формирование регулярного двумерного массива рабочих точек для расчёта съёма материала; 2) создание банка данных из координат центральных точек интерференционных полос; 3) вычисление параметров ближайшей сферы сравнения с помощью метода наименьших квадратов; 4) построение банка данных волновой аберрации с учётом радиуса сферы сравнения, наклона волнового фронта и дефокусировки; 5) определение СКО для волновой аберрации; 6) построение банка данных волновой аберрации на равномерной сетке в результате линейной локальной трёхточечной интерполяции; 7) нахождение банка данных волновой аберрации на равномерной сетке с учётом регулярных аберрационных погрешностей; 8) построение топографической карты (топограммы) контролируемой поверхности. На основании найденных значений волновой аберрации строятся топограммы контролируемых асферических зеркал.

В рамках первой ступени в общем случае на поверхности детали (рис. 2) идентифицируется прямоугольная сетка регулярного двумерного массива M ´ M (; ) рабочих точек . В этих точках на основе построенной топограммы рассчитывают съём материала h в процессе обработки. Число рабочих точек построенной равномерной сетки определяет количество элементарных квадратных обрабатываемых участков на детали, которое пропорционально числу квадратных участков на инструменте. В частности, трёхточечный инструмент имеет 5 участков (3 вдоль координатной оси); пятиточечный инструмент – 13 участков (5 вдоль оси); семиточечный инструмент – 29 участков (7 вдоль оси).

Съём материала h представляет собой линейное отклонение поверхности до съёма F ‘ [м] (исходная топограмма 0-ой итерации) от поверхности после съёма [м] (новая топограмма 1-ой итерации), измеренное по нормали к ближайшей сфере сравнения радиуса . При этом сфера сравнения проводится таким образом, что

. (1)

Целью итерационного процесса расчёта съёма является определение суммарного отклонения поверхности после p итераций , а также полного времени обработки в каждой элементарной площадке в результате постепенного увеличения съёма за счёт последовательного перехода от радиуса к радиусу .

На этапе расчёта съёма материала h (x, y) каждый квадратный участок на детали идентифицируется рабочей точкой (см. рис. 2). Если – максимальное положительное линейное отклонение поверхности до съёма, т.е.

, (2)

то без ограничения общности проанализируем поведение трёхточечного инструмента в процессе 1-го итерационного съёма, когда поводок локализован в точке максимального отклонения . Для этого установим инструмент так, чтобы его центральный обрабатывающий участок располагался над элементарной площадкой, где имеется это максимальное отклонение. Отклонения в четырёх соседних точках полировальника, которые образуют круговую зону обработки детали, покрываемую инструментом (рис. 3), обозначим через , , , соответственно.

2. Линейная алгоритмическая модель 1-го этапа итерационного съёма

Проведём первую итерационную обработку (p = 1), в результате которой съём материала полировальником в центральной точке равен величине h₁ и осуществляется до отклонения 1‑ой итерационной сферы от сферы сравнения. При этом съём материала на 1‑ом этапе допустим только, если

. (3)

С целью операторной идентификации поведения полировальника введём в рассмотрение линейный алгоритмический оператор съёма материала , определяющий линейные отклонения поверхности после первого съёма

(4)

в пяти точках под трёхточечным полировальником (рис. 3), так что

(5)

где к_h – технологический коэффициент относительного съёма для каждой из четырёх точек интервалов трёхточечного полировальника, определяемый экспериментально.

В результате (5) идентифицирует линейную алгоритмическую модель первого этапа итерационного съёма (ЛАлгртмМ 1ИтерцСъёма), которая задаёт дискретную случайную величину .

3. Оценка адекватности ЛАлгртмМ 1-го этапа итерационного съёма

Адекватность построенной ЛАлгртмМ 1ИтерцСъёма (5) определяется в результате статистической оценки случайной величины с помощью среднеквадратического отклонения (СКО) полученной поверхности от ближайшей сферы сравнения, так что

, (6)

где N – число точек на топограмме. В формуле (6) первое слагаемое представляет собой математическое ожидание квадрата дискретной случайной величины , а второе – квадрат математического ожидания этой величины.

Съём материала трёхточечным полировальником проводится только в пяти точках, в которых значения случайной величины равны соответственно F₁, F₂, F₃, F₄ и F₅. В других точках съём материала не осуществляется, т.е. . Тогда из (6) после несложных преобразований получим

(7)

Так как отклонения исходной топограммы определены относительно ближайшей сферы сравнения, то с учётом (1) две суммы в (7) превращаются в нуль. Кроме того, для малого съёма h₁ последним слагаемым в (7), содержащим , можно пренебречь. В результате (7) принимает вид

. (8)

Из (8) следует, что для уменьшения σ должно выполняться условие

. (9)

Таким образом выражение (9) задаёт основные требования, определяющие адекватность ЛАлгртмМ 1ИтерцСъёма (5):

v   чем больше линейные отклонения поверхности F₁, F₂, F₃, F₄, F₅ под полировальником до съёма по сравнению с другими областями, тем меньше СКО s и тем ближе форма поверхности к ближайшей сфере сравнения. Если до первого итерационного съёма такие точки под полировальником отсутствуют, то уменьшение СКО в этом случае невозможно и необходимо использовать инструмент меньшего диаметра;

v   если рядом с центральной точкой = F₁ с максимальным отклонением находятся глубокие ямы, т.е. по крайней мере одно из значений F₂, F₃, F₄, F₅ << F₁, то условие (9) может не выполняться. В результате уменьшение СКО в этом случае также не происходит. Поэтому следует переходить к другой области, где условие (9) выполняется.

v   если к_h мало, что соответствует, в основном, съёму материала полировальником в центральной точке (так называемому острому профилю съёма), то это также не всегда приводит к уменьшению СКО. В случае гладкой поверхности с большими и равномерными регулярными погрешностями, съём с острым профилем вообще нежелателен. Так как профиль итерационного съёма для данного полировальника остается постоянным, то оптимальный профиль съёма должен обладать средним спадом, который согласуется с перепадом отклонений формы поверхности на краю полировальника;

v   наконец, влияние на СКО съёма материала h₁ полировальником в центральной точке с максимальным отклонением определяет параболическая зависимость

. (10)

Ветви этой параболы направлены вниз, т.е. она характеризуется максимальной положительной вершиной, координата которой определяется в результате дифференцирования этой функции по h₁, так что съём, максимально уменьшающий СКО равен

. (11)

Следует заметить, что при таком съёме наибольшее улучшение формы поверхности происходит только при помещении центра инструмента лишь в одну круговую зону обработки, покрываемую инструментом, где имеется это максимальное отклонение. Большего улучшения качества поверхности можно достигнуть за счёт постепенного увеличения припуска и расчёта съёма в последовательно перекрывающихся зонах.

Так как парабола Ф(h₁) имеет два нулевых значения, то при увеличении съёма h₁ СКО сначала уменьшается, а после достижения снова начинает возрастать.

4. Линейная алгоритмическая модель p-го этапа итерационного съёма

Проведённая предварительная оценка адекватности ЛАлгртмМ 1ИтерцСъёма позволяет перейти к построению ЛАлгртмМ pИтерцСъёма. Для этого проведём p‑ую итерационную обработку детали, при которой съём материала полировальником осуществляется до отклонения p-ой итерационной сферы от сферы сравнения. Здесь по аналогии с (2) – максимальное положительное линейное отклонение поверхности до съёма на p-ой итерации, т.е. первая максимальная точка на (p – 1)-ой топографической карте, так что

. (12)

Отклонения в четырёх соседних точках полировальника, которые образуют первую круговую зону обработки детали и определяют возможность съёма в зоне до величины , обозначим через , , , соответственно.

При этом, по-прежнему, съём материала допустим, если по аналогии с (3)

(13)

Продолжая операторную идентификацию поведения полировальника в процессе p‑ой итерации, идентифицируем линейный алгоритмический оператор съёма материала . Он по аналогии с (4) определяет линейные отклонения поверхности после p-ого съёма

(14)

в пяти точках под трёхточечным полировальником (рис. 3), так что отклонения на p‑ой топографической карте имеют вид

(15)

Таким образом (15) идентифицирует линейную алгоритмическую модель p‑ого этапа итерационного съёма (ЛАлгртмМ pИтерцСъёма), которая задаёт дискретную случайную величину . При этом съём в центральной зоне равен такому съёму (), для которого одно из значений оказывается равным . В результате все значения заменяются на величину .

Далее находим вторую максимальную точку на (p – 1)-ой топографической карте для второй круговой зоны обработки детали, так что

. (16)

После этого устанавливаем инструмент так, чтобы его центральный обрабатывающий участок располагался над элементарной площадкой, где имеется это максимальное отклонение. Отклонения в четырёх соседних точках полировальника, которые образуют круговую зону обработки детали, обозначим через , , , соответственно. При этом, по-прежнему, съём материала в этой зоне допустим, если по аналогии с (13)

. (17)

Процесс расчёта съёма материала на p‑ом итерационном этапе заканчивается, когда при помещении полировальника в любую из элементарных площадок всегда найдётся точка, для которой линейное отклонение поверхности под полировальником до p‑ого съёма .

Затем, уменьшая величину , переходим к (p + 1)-ому этапу итерационного съёма, для которого съём материала полировальником осуществляется до отклонения (p+1)-ой итерационной сферы от сферы сравнения. При этом

(18)

называется шагом итерации. Он задаёт величину, на которую увеличивается съём на каждой итерации. Шаг итерации выбирается автоматически на основе значений съёма на предыдущих итерациях. В том случае, когда новых областей съёма не появляется, шаг остается прежним. Однако при небольшом относительном числе точек, шаг увеличивается. Если отклонение (p+1)-ой итерационной сферы от сферы сравнения, до которого осуществляется съём материала полировальником, уменьшается, т.е. съём увеличивается, то площадь обработки также увеличивается и, соответственно, шаг итерации уменьшается. Экспериментально найдено, что минимальный шаг итерации может составлять 1/200 долю от полного размаха погрешностей поверхности.

Аналогично строятся ЛАлгртмМ pИтерцСъёма для полировальников с более детальным разбиением на элементарные площадки: для пятиточечного инструмента – 13 участков (5 вдоль оси) и семиточечного инструмента – 29 участков (7 вдоль оси).

5. Линейная алгоритмическая модель суммарного съёма

Основной целью итерационного процесса расчёта съёма является определение суммарного отклонения поверхности после p итераций. Для достижения поставленной цели строится линейная алгоритмическая модель суммарного (S) итерационного съёма (ЛАлгртмМ SИтерцСъёма) с помощью суммарного линейного алгоритмического оператора съёма материала , так что

(19)

Другой целью итерационного процесса расчёта съёма является нахождение полного времени обработки в центральной области за все предыдущие p итерационных этапов, которое равно

. (20)

Для каких-то итераций некоторые слагаемые в (20) могут быть равны нулю.

6. Оценка адекватности ансамбля ЛАлгртмМ итерационного съёма

Реализация итерационного процесса расчёта съёма материла при автоматизированном полировании оптических поверхностей на основе ансамбля ЛАлгртм Моделей ИтерцСъёма позволяет значительно повысить производительность процесса автоматизированного формообразования. Преимущество такого подхода состоит в том, что не только не нужно решать громоздкую систему уравнений, но дополнительно появляется возможность максимального использования экспериментальных данных в процессе математического моделирования.

Проведём оценку адекватности построенного ансамбля ЛАлгртмМоделей ИтерцСъёма в процессе формообразования. Пусть на поверхности обрабатываемой детали имеются регулярные погрешности (например, астигматизм или зональные погрешности), а инструмент на первоначальных стадиях обработки производит съём лишь в некоторой области поверхности. В этом случае для необрабатываемых участков поверхности строится опорная сфера сравнения, которую можно снова использовать после сеанса обработки, если выполнены условия разгруженного состояния детали. Используя эту опорную поверхность, находят разность в отклонениях формы поверхности до и после сеанса обработки, т.е. величину абсолютного съёма и вычисляют технологический коэффициент относительного съёма.

Если недостаточно хорошо выполняются условия разгрузки обрабатываемой детали, то приходится использовать новую опорную сферу. Такое несовпадение опорных сфер при дальнейшей полировке оптической поверхности необходимо устранять. Чем лучше совпадают опорные поверхности, тем более достоверную картину абсолютного съёма можно получить. Наличие отрицательных величин абсолютного съёма на топографической карте обусловлено погрешностями контроля и обработки данных.

Пусть в области D на поверхности обрабатываемой детали произведён съём материала. В рамках итерационного процесса расчёта съёма построены: топограмма реального съёма h_mn и топограмма предполагаемого съёма . При этом для необрабатываемых зон по условию, а величина h_mn → 0 с точностью до погрешности вычисления съёма.

Тогда адекватность созданной ЛАлгртмМ ИтерцСъёма материала при автоматизированном полировании оптической поверхности, идентифицирующей съём на каждом этапе, можно охарактеризовать коэффициентом адекватности β, так что

. (21)

Из (21) следует, что при β = 1 созданный ансамбль ЛАлгртмМ ИтерцСъёма полностью адекватно описывает реальный процесс формообразования асферических крупногабаритных оптических деталей.

Проведение коррекции технологического коэффициента относительного съёма даёт возможность существенно повысить сходимость процесса формообразования

, (22)

где – уточнённый технологический коэффициент; – технологический коэффициент, найденный экспериментально. При этом выражение (22) позволяет ввести в процесс автоматизированного формообразования обратную связь по технологическому коэффициенту относительного съёма. Такая обратная связь дополнительно повышает производительность съёма материала при автоматизированном полировании асферических крупногабаритных оптических деталей.

Литература

1. Справочник технолога-оптика / М.А.Окатов, Э.А.Антонов, А.Байгожин и др.; Под общ. ред. М.А.Окатова. – Санкт-Петербург: Политехника, 2004. – 656с.

2. Wilson R.N. Reflecting Telescope Optics. V.1. /Edit by I.Appenzeller, Germany. – Springer, 2000. – 543p.

3. Wilson R.N. Reflecting Telescope Optics. V.2. /Edit by I.Appenzeller, Germany. – Springer, 2001. – 554p.

4. Абдулкадыров М.А., Савельев А.С., Семёнов А.П. Расчёт съёма материала при автоматизированном формообразовании поверхностей крупногабаритных оптических деталей // Оптико-механическая промышленность. – 1990. – ╧4. – С. 61-66.

5. Абдулкадыров М.А., Савельев А.С., Семёнов А.П. Определение абсолютного съёма при автоматизированной доводке оптических поверхностей // Оптический журнал. – 1992. – ╧10. – С. 60-62.