УДК.519.23

МГТУим. Н.Э.Баумана

ipavlov@bmstu.ru

Введение. Рассмотрим систему, включающую в себя Nосновных рабочих элементов (подсистем), работающих в параллельном нагруженном режиме, при этом предполагается, что эффективность работы системыпропорциональна числуисправно работающих ее элементов. В процессе работы каждый из элементов может отказывать с постоянной функцией интенсивности отказов  где λ – параметр интенсивности отказов одного элемента, другими словами,время безотказной работы (наработка на отказ) каждого отдельного элемента имеет экспоненциальное распределение с функцией надежности  (см., например, [1] - [3] и др.). При этом предполагается, что отказы различных элементов происходят независимо друг от друга. Аналогичные по смыслу модели надежностирассматривались ранее также в [4] - [6 ] и др.

Обозначим через  момент отказа j-ого элемента,

-индикатор исправной работы j-ого элемента в момент времениtи

- количество элементов исправно работающих в момент времениt, N(0) = N. Пусть в момент времени  достижения процессом N(t) критического уровня N - rпроисходит остановка работы системы и начинается восстановление (замена)отказавших элементов новымиидентичнымиэлементами, где r- некоторый заданный критический уровень допустимого числа отказов. Восстановление происходит в течение некоторого (вообще говоря, случайного) времени τ, после чего в момент времени  процесс N(t) возвращается в начальное состояние N(0) = N, затемпроцесс работы системы возобновляется, снова продолжается до момента достижения процессом N(t) уровня N - rи т.д.

Одной из существенных проблем, возникающих в данной ситуации, является выбороптимальногокритического уровня rначала восстановления в системе, который, в свою очередь, задаетоптимальное правило восстановлениядля данной модели.

Нахождение основных характеристик и оптимального уровня начала восстановления в системе.Cреднее значениепроцесса N(t) на интервале  или, другими словами, среднее число исправно работающих элементовв системе имеет вид

где E– символ математического ожидания,  – математическое ожидание указанного выше момента (начала восстановления)  – среднее время восстановления,  – средняя длина одного цикла работы системы,  – средняя «наработка»(суммарное время работы) всех элементов системы на одном цикле.

Другая существенная характеристика – средние затраты на восстановление элементов системы в единицу времени на интервале  имеет вид

Где β– стоимость восстановления (замены) одного элемента.

            Рассмотренный выше процесс N(t) на интервал времени  совпадает с процессом испытаний идентичных элементов по стандартному плану  (в обозначениях книги [1]).При этом момент начала восстановления  совпадает с моментом r- ого отказа t_rили, другими словами, с r - ой порядковой статистикой для выборки объема Nиз экспоненциального распределения с параметром λ ,откуда следует, что математическое ожидание времени начала восстановления(средняя длина цикла)определяется формулой

Суммарное время работы («наработка») элементов на одном цикле имеет вид

где  – последовательные моменты отказов элементов.Эта величинаимеет распределение Эрланга порядка rс параметром λ и математическим ожиданием

(см., например, [2], [3]). Из (3) и (4) далее следует, что указанные выше основные характеристики – среднее число работающих элементов  и средние затраты  на восстановление в единицу времени в рамках данной модели имеют вид

где  – функция от критического уровня rначала восстановления (на каждом цикле), определяемая выражением

В соответствии с (5), (6) при любом критическом уровне начала восстановления rэти характеристики связаны соотношением

где  - математическое ожидание времени безотказной работы (средний ресурс)одного элемента. В соответствии с (8) среднее число исправно работающих элементов в системе пропорционально средним удельным затратам  на восстановление в единицу времени и среднему ресурс у элементов T.

Из (7) далее нетрудно получить, что первая разность функции  имеет вид

откуда следует, что функция  имеет единственный минимум в точке

(, если таких rне найдется). Соответственно характеристики  имеют в этой точке единственный максимум.

            Поскольку , то обе характеристики монотонно убывают по r, если выполняется неравенство

В этом случае максимальное значение показателя эффективности  достигается при r^* = 1 или, другими словами, при наиболее затратном правиле восстановления, когда в случае отказа любого элемента работа системы останавливается и начинается восстановление.

            Если параметры системы удовлетворяют неравенству

то в этом случае обе указанные выше в (1) , (2)основные характеристики достигают максимального значения при r^* > 1, где r^* определяется из соотношения (9).

Обозначим далее через  максимально возможное значение показателя эффективности . Величину

назовем коэффициентом максимально возможной эффективности (среднего количества исправно работающих элементов) при данных параметрах надежности λи восстановления τ. Для случая N >> 1 из (7), (9)нетрудно далее получить приближенные аналитические выражения

откуда видно, что доля заменяемого оборудования , при которой достигаетсямаксимально возможная эффективность , пропорциональна величине . При этом указанные относительные характеристики не зависят от общего количества элементов в системе N. Таким образом, основным параметром, определяющим значения основных характеристик системы в рамках данной модели является величина , гдеT - среднее время безотказной работы (средний ресурс) одного элемента.

            В заключение необходимо отметить, что существенный интерес представляет дальнейшее обобщение полученных результатов на случай более общих распределений времени безотказной работы элементов, а также на более общие модели, учитывающие такие факторы, как возможность «блочных» отказов в системе и др.

Литература

1.      Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д.Математические методы в теории надежности.М.: Наука, 1965. – 524 с.

2.      Gnedenko B.V., Pavlov I.V., Ushakov I.A.Statistical reliability engineering.N.Y.:John Wiley, 1999,514 p.

3.      Горяинов В.Б., Павлов И.В., Тескин О.И.,Цветкова Г.М. Математическая статистика(серия Математика в техническом университете, под редакцией Зарубина В.С., Крищенко А.П., том 17), М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана.-2002. – 424 с.

4.      Pavlov I.V., Teskin O.I., Ukolov S.N.A comparison of some exact and approximate methods for calculating confidence bounds for system reliability based on component test data // Proceeding of the first international conference, MMR’97, Bucharest, Romania –Sept., 1997. –pp. 231-236.

5.      PavlovI.V., TeskinO.I., GoryainovV.B., UkolovS.N.Confidence bounds for system reliability based on binomial components test data // Proceeding of thesecond international conference, MMR’2000, Bordeaux, France.–Jul., 2000.– pp. 852-855.

6.      Лёвин П.А, Павлов И.В., Оценка надежности системы с нагруженным резервированием по результатам испытаний ее элементов //Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, серия “Естественные Науки”, – 2011, №3, с. 59 - 70.