Эл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-0408

УДК 681.2.087;004.942.519.876.5

МГТУ им.Н.Э.Баумана, Тайвань
K_mt4@org.bmstu.ru,

Исследование изменения во времени свойств конструкционных материалов представляет большой практический интерес. Здесь, в частности, одним из важных аспектов решения данной проблемы может быть определение с повышенной точностью параметров реологической модели материала.

В связи с этим ниже рассматривается схема определения параметров осциллятора, упругий элемент которого обладает памятью . Уравнение движения такого осциллятора под действием колеблющейся на фиксированной частоте вынуждающей силы имеет вид [1] [2] :

(1)

Здесь - смещение осциллятора относительно положения равновесия, - коэффициент затухания, и - релаксированное и нерелаксированное значения собственной циклической частоты - параметр релаксации , - постоянная амплитуда вынуждающей силы, - её циклическая частота.

Поскольку , обладая памятью, материал упругого элемента может измениться необратимо после воздействия на него осциллирующей силой, переход к изучению отклика материала упругого элемента на новой частоте колебаний, отличной от предыдущей, может привести к погрешностям.

Поэтому амплитуда осуществляющей тестовое воздействие вынуждающей силы должна быть минимальной .

Решение уравнения (1) для установившихся колебаний ищется в виде :

(2)

где и - зависящие от циклической частоты амплитуда и сдвиг фазы между вынуждающей силой и откликом смещением-осциллятора.

Из уравнения (1) с помощью (2) следует система для определения амплитуды и фазы .

, (3)

,

которая позволяет получить

, (4)

. (5)

Для экспериментального определения параметров осциллятора по результатам определения его амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик полагается , что отсчеты амплитуды и фазы выполнены в заданной полосе частот на дискретных частотах ω_i , отстоящих друг от друга на одинаковые интервалы так , что ω_i+1- ω_i=const во всей исследуемой полосе частот.

Выбранным произвольно из полученного дискретного набора частот их четырем значениям ω₁ , ω₂ , ω₃ , ω₄ соответствуют четыре значения амплитуды , , , и четыре значения фазы φ₁ , φ ₂ , φ ₃ , φ ₄ , полученные экспериментально .

Этого набора величин достаточно для образования системы четырех уравнений для определения четырех величин s , ω₀ , ω_∞ , β .

Из уравнений (4) и (5) получается уравнение

, (6)

в котором параметры и известны из эксперимента.

Последнее уравнение позволяет получить систему

(7)

Здесь ()

Из уравнений (7) следует система :

, (8)

,

позволяющая после исключения произведения и простейших алгебраических преобразований получить биквадратное уравнение относительно :

(9)

где

Вычислив величину параметра из этого уравнения легко получить из системы (8) систему линейных уравнений для вычисления параметров и :

, (10)

,

Решение этой системы получается в виде .

(11)

(12)

Для определения погрешности результатов накопление статистики можно имитировать , подбирая значениям частот ω_i , где - число эквидистантных частот в заданном диапазоне .

Из соотношения (4) , используя найденные значения s , ω₀ и ω_∞ легко получить и значение коэффициента затухания β :

(13)

Таким образом , определение амплитудо-частотных и фазочастотных характеристик осциллятора , упругий элемент которого обладает памятью , как уже было отмечено сводится к экспериментальному нахождению амплитуды и фазы колебаний осциллятора под действием вынуждающей силы , задаваемой в необходимом диапазоне частот .

Особенностью такого экспериментального исследования является применение тестовых воздействий минимальной величины , чтобы они не вызвали дополнительных необратимых изменений материала упругого элемента . Однако в этом случае отклик на тестовое воздействие по своему уровню приблизится к уровню случайных фоновых помех или даже будет сравним с их уровнем . Источником таких помех могут оказаться колебания основания установки , создаваемые микросейсмами и вибрациями индустриально промышленного происхождения , влиянием нестабильности других параметров внешней среды : давления , температуры , аэродинамическими эффектами , электромагнитными наводками , фоновыми засветками , а также внутренними шумами измерительной аппаратуры.

Однако решение проблемы отстройки от помех в значительной степени упрощается , так как задача определения параметров полезного сигнала (его амплитуды и фазы ) в виде одной гармоники на фиксированной и заранее известной частоте хорошо изучена.

Средние квадратические значения погрешности определения координаты , амплитуды и фазы , как показывают расчеты , связаны соотношением :

(14)

или . Существенно , что здесь и величины , получаемые при обработке результатов измерений .

Введение обозначений

(15)

приводит к системе

(16)

где знак ~ над обозначениями , и подчеркивает наличие случайной составляющей в результатах их определения .

Так же как и в случае детерминированного процесса можно получить биквадратное уравнение для определения частоты релаксации :

(17)

Где

и формулы , определяющие значения и :

(18)

(19)

Необходимо установить погрешности определения величин , и .

Для этого , сначала определяется корень уравнения (9) :

(20)

Где - коэффициенты уравнения (9) .

, ,

Таким образом ,

(21)

где

Выражения для оценки погрешностей определения величин и следует из соотношений (11) , (12) :

(22)

(23)

Здесь выражения для погрешности определения величин () следуют из уравнения (15) и получаются в виде .

(24)

Выражение для погрешности определения частоты релаксации получается аналогично из формулы (20) и не приводится ввиду его громоздкости .

Очевидно , снижение погрешностей определения амплитуды и фазы гарантирует и уменьшение погрешностей , и .

ЛИТЕРАТУРА

1. Постников В.С. Физика и химия твердого состояния. «металлургия» , 1978,544с.

2. Мешков С.И. , Почевская Г.Н. , Постников В.С. , Рудис М.А. Случайные колебания осциллятора с наследованными свойствами ./ физ. и хим. обработка материалов 1970. N6 с 137-138 .