Михайлова Ольга Владимировна

В статье предлагается улучшенный алгоритм вычисления координат базиса криволинейной системы координат при переходе от декартовой системы к цилиндрической или сферической системам координат. Задача перехода от старого базиса к новому решается в линейной алгебре с помощью матриц перехода по известному правилу, где – матрица перехода, – матрицы-столбцы, составленные из координат базисных векторов старого и нового базисов. Или наоборот, где – обратная матрица к матрице перехода. Предлагается алгоритм, в котором задействованы оба перехода одновременно, что позволяет достаточно просто и без ошибок осуществить каждый из переходов, что и показано на примерах векторных полей.

Один из методов качественного анализа динамической системы состоит в оценке положения ее инвариантных компактных множеств, тесно связанных с ограниченными траекториями системы. В качестве решения такой задачи можно использовать локализирующие множества, т.е. множества в фазовом пространстве системы, содержащие все ее инвариантные компакты. В настоящей статье исследуются дискретная система Лози, имеющая второй порядок. Эта система была предложена как кусочно-линейный аналог известной дискретной системы Хенона, при некоторых значениях параметров имеющей хаотический аттрактор. Для положительно инвариантных и отрицательно инвариантных компактов системы Лози построены семейства локализирующих множеств и найдены их пересечения. Результаты исследования показаны на рисунках.

Рассматривается трехмерная полиномиальная динамическая система dx/dt = y+z, dy/dt = -x+αy, dz/dt = x²-z, имеющая сложное поведение. В частном случае α = 0,5 эта система совпадает с одной из систем с хаотическим поведением, найденных Шпроттом (J.C. Sprott). Для указанной системы решается задача локализации инвариантных компактных множеств, т.е. задача построения такого множества в фазовом пространстве системы, которое содержит все инвариантные компактные множества этой системы. В статье с помощью функционального метода локализации А.П. Крищенко получено семейство локализирующих множеств для инвариантных компактов. С помощью численных методов оптимизации найдено пересечение этого семейства.