Иванков Павел Леонидович

В статье рассматриваются некоторые проблемы, связанные с изложением в лекционном курсе вопросов, относящихся к разложению элементарных функций в ряды Тейлора. В статье предлагается способ изложения указанной темы, который позволит получить все требуемые разложения без ссылок на теорему о формуле Тейлора с остаточным членом. Дело в том, что разложение элементарных функций в ряды Тейлора рассматривается на втором курсе, когда студенты уже знают свойства степенных рядов и знакомы с теоремой существования и единственности из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. С помощью свойств степенных рядов выписываются дифференциальные уравнения (или системы таких уравнений), которым удовлетворяют ряды Тейлора, проверяется выполнение начальных условий, а затем с помощью упомянутой выше теоремы, относящейся к теории обыкновенных дифференциальных уравнений, устанавливается совпадение сумм этих рядов со значениями соответствующих элементарных функций.

С. 1–12

С. 102-113

С.65-74

Для изучения арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций с иррациональными параметрами нельзя непосредственно применять известный в теории трансцендентных чисел метод Зигеля. Причиной этого является слишком быстро растущий общий наименьший знаменатель коэффициентов разложения таких функций в степенные ряды. В некоторых случаях, однако, с помощью специального рассуждения удается обойти указанную трудность и построить линейную приближающую форму (или совместные приближения), используя принцип Дирихле. При этом привлекаются также некоторые приемы, относящиеся к методам эффективного построения упомянутых приближений. Применение перечисленных соображений в случае неоднородных форм приводит к недостаточно точным оценкам. В настоящей работе для уточнения таких оценок строятся совместные приближения с оптимальным выбором степени нулевого многочлена.

Для изучения арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций с иррациональными параметрами нельзя непосредственно применить известный в теории трансцендентных чисел метод Зигеля, т.к. упомянутые функции не принадлежат классу E-функций. Поэтому в такой ситуации обычно используют различные варианты эффективного построения линейных приближающих форм. В настоящей работе используется один из названных вариантов, позволяющий рассмотреть также и продифференцированные по параметру функции. Возможности используемого метода расширяются за счет специального выбора параметров рассматриваемых функций.

Для получения количественных результатов в теории диофантовых приближений используются функциональные линейные приближающие формы, имеющие достаточно высокий порядок нуля при z  = 0. Такие формы строятся либо с помощью принципа Дирихле, либо эффективно. В настоящей работе с помощью эффективной конструкции линейных приближающих форм оценивается снизу модуль линейной формы от значений показательной функции в различных точках мнимого квадратичного поля; числителями упомянутых точек являются корни из единицы. Получены точные по высоте оценки с вычислением соответствующих констант. Предлагаемая конструкция может быть использована и для получения аналогичных оценок от значений обобщенных гипергеометрических функций.

Для изучения арифметической природы значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами обычно применяют эффективные конструкции аппроксимаций Паде первого или второго рода. При этом аппроксимации второго рода (совместные приближения) устроены проще и часто позволяют получать более общие результаты. В работе предлагается эффективная конструкция совместных приближений для гипергеометрических функций общего вида и их производных (в том числе и по параметру). С помощью этой конструкции оценивается снизу модуль соответствующей линейной формы. Некоторые из параметров рассматриваемых функций являются иррациональными.

Исследование арифметической природы значений обобщённых гипергеометрических функций обычно начинается с построения линейной приближающей формы, имеющей достаточно высокий порядок нуля в начале координат. Такую форму можно построить с помощью принципа Дирихле; получающиеся на этом пути результаты являются в известном смысле общими, однако возможности такого метода оказываются ограниченными, если требуются количественные оценки высокой точности. Дополнительные трудности возникают также при рассмотрении функций с иррациональными параметрами. В ряде случаев приближающую форму удаётся построить эффективно. Это даёт возможность получить более точные оценки линейных форм от значений гипергеометрических функций с рациональными параметрами и позволяет рассмотреть  случай функций с иррациональными параметрами. В настоящей работе предлагается новая эффективная конструкция аппроксимаций типа Паде для обобщённых гипергеометрических функций и их производных (в том числе и по параметру). Эта конструкция применяется для получения результатов об арифметической природе значений таких функций.