Куликова Ольга Викторовна

Проблема сопряженности – одна из трех фундаментальных алгоритмических проблем теории групп, поставленных М. Дэном в 1912 году. Эта проблема получила отрицательное решение в работе П.С. Новикова, который в 1955 году построил пример конечно определенной группы с неразрешимой проблемой равенства слов, тем самым доказав и неразрешимость проблемы сопряженности слов в классе конечно определенных групп. После этого усилия были направлены на изучение проблемы сопряженности в конкретных классах конечно определенных групп и в их подгруппах. В 1971 году К.Ф. Миллер III построил пример подпрямого произведения свободных групп, в котором не разрешима проблема сопряженности. В данном примере подпрямое произведение почти никогда не является конечно представленной подгруппой. В 2000 году Дж. Баумслаг и др. доказали, что существует гиперболические группы без кручения, в прямом произведении которых есть конечно представленная подгруппа с неразрешимой проблемой сопряженности. В 2009 году   для  прямого произведения  свободных групп и групп поверхностей М.Р. Бридсон и К.Ф. Миллер Ш доказали, что в любой конечно представленной подгруппе такого прямого произведения разрешима проблема сопряженности. Данная работа является продолжением работы, в которой проблема сопряженности в подпрямых произведениях изучалась с помощью картинок, и в которой, в частности, было получено, что разрешимость проблемы сопряженности в подпрямых произведениях следует из аторичности и из условия малых сокращений C(6).  Картинки являются геометрическими объектами двойственными к диаграммам ван Кампена.  В 1968 году П. Шупп первым использовал диаграммы ван Кампена для решения проблемы сопряженности в группе при наложении неметрических свойств C(p) и T(q). В настоящей работе доказано, что при условии аторичности и условии C(4)-T(4) или  C(3)-T(6) проблема сопряженности в подпрямых произведениях разрешима. В работе также получено достаточное условие для разрешимости проблемы сопряженности в подпрямых произведениях, выраженное только с помощью условий малых сокращений.

В.А. Богли и С.Дж. Прайд исследовали асферические относительные копредставления. В настоящей работе относительные копредставления рассматриваются  с точки зрения аторичности. Получено достаточное условие для аторичности, подобное одному из условий В.А. Богли и С.Дж. Прайда для асферечности. Изучаются свойства коммутирующих элементов в группе, представленной ориентированным аторическим относительным копредставлением. Получены некоторые свойства сопряженных элементов и коммутирующих элементов в группе, представленной ориентированным относительным копредставлением, над которым не существует связных приведенных кольцевых картинок.