Бутко Яна Анатольевна

С. 42-52

В настоящей работе описывается подход к решению начальных и начально-краевых задач для эволюционных уравнений, основанный на представлении решений таких задач в виде пределов кратных интегралов при стремлении кратности к бесконечности (такие представления называются формулами Фейнмана). Подобные формулы позволяют проводить непосредственные вычисления решений эволюционных уравнений, пригодны для аппроксимации переходных вероятностей случайных процессов, могут быть использованы для компьютерного моделирования классической, квантовой и стохастической динамики. В настоящей работе строятся формулы Фейнмана для эволюционных полугрупп, полученных с помощью аддитивных и мультипликативных возмущений генераторов некоторых исходных полугрупп, а также формулы Фейнмана для решения начально-краевой задачи Коши--Дирихле для дифференциального уравнения параболического типа. В частности, в работе выводятся формулы Фейнмана для задач Коши и Коши--Дирихле для параболического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, и задачи Коши для уравнения Шредингера.

В статье рассматривается задача Коши для параболического уравнения в частных производных с бигармоническим оператором и аддитивным возмущением по пространственной переменной. Подобные уравнения используются в различных областях физики, химии, биологии и компьютерных наук.  Получены представления решения поставленной задачи  с помощью формул Фейнмана, т.е. пределов кратных интегралов от элементарных функций при стремлении кратности к бесконечности. Основная часть  формул Фейнмана доказана с помощью теоремы Чернова; некоторые  формулы получены на основании  аппроксимаций Иосиды. В работе представлены различные типы формул Фейнмана: гамильтоновы и лагранжевы.   Лагранжевы формулы Фейнмана подходят  для   численного моделирования динамики эволюционной системы. Гамильтоновы формулы Фейнмана связаны  с некоторыми интегралами Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве; такие интегралы  являются важными объектами квантовой физики.

В настоящей работе рассматривается новый метод исследования  и описания линейной динамики. Метод основан на представлении  соответствующих эволюционных полугрупп (или, что то же самое, решений соответствующих эволюционных уравнений) с помощью формул Фейнмана, то есть в виде пределов конечнократных интегралов при стремлении кратности к бесконечности. При этом  в некоторых случаях удается  получить формулы Фейнмана, содержащие конечнократные интегралы только от элементарных функций.  Такие формулы Фейнмана позволяют проводить непосредственные вычисления решений эволюционных уравнений, пригодны для аппроксимации переходных вероятностей случайных процессов, полезны для компьютерного моделирования стохастической и квантовой динамики.  Пределы конечнократных интегралов в формулах Фейнмана совпадают с некоторыми функциональными интегралами по вероятностным мерам или по псевдомерам фейнмановского типа. В настоящее время функциональные интегралы (или интегралы по траекториям) занимают одно из центральных мест в математическом аппарате теоретической физики; это важные объекты в квантовой теории поля, особенно в теории калибровочных полей. При решении множества задач полезно применять   гамильтонов формализм квантовой механики и  работать с (гамильтоновыми) интегралами Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве. Существует много подходов к математически строгому определению таких интегралов. При этом  в рамках каждого из подходов возникает свой собственный класс функций, интегрируемых в данном смысле.  В настоящей работе развивается  подход Смолянова и его соавторов,  позволяющий связать интегралы Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве с гамильтоновыми формулами Фейнмана для эволюционных полугрупп. В последнее десятилетие этот метод активно применяется для описания  различных типов динамики в областях евклидовых пространств и римановых многообразий, в бесконечномерных линейных и нелинейных пространствах, при исследовании  р-адических аналогов уравнений математической физики. Настоящая работа носит обзорный характер; в ней собраны воедино некоторые результаты недавних статей автора (совместных с Бёттхером,  Гротхаусом,  Смоляновым и Шиллингом), в которых последовательно развивается метод формул Фейнмана для исследования феллеровских полугрупп и изучается  связь таких формул с интегралами Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве. В данной работе выведены формулы Фейнмана для феллеровских полугрупп и полугрупп, порожденных различными процедурами квантования квадратичной функции Гамильтона; введена конструкция интеграла Фейнмана по фазовому пространству; представлены интегралы Фейнмана для феллеровских полугрупп и полугрупп, порожденных различными процедурами квантования квадратичной функции Гамильтона.

Рассмотрено семейство параболических уравнений второго порядка, порожденных различными видами квантования квадратичной функции Гамильтона некоторой классической системы. Решение задачи Коши--Дирихле для рассмотренного семейства уравнений на отрезке представлено в виде гамильтоновой формулы Фейнмана, то есть в виде предела конечнократных интегралов от элементарных функций при стремлении кратности к бесконечности. Тем самым, в работе получена новая формула, пригодная для непосредственных вычислений решения поставленной задачи и компьютерного моделирования соответствующей динамики. В работе также обсуждается связь между дифференциальными операторами, соответствующими различным типам квантования квадратичной функции Гамильтона, и связь полученной гамильтоновой формулы Фейнмана с интегралами Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве.

Рассматривается задача  Коши-Неймана для параболического уравнения на полупрямой с переменными коэффициентами, зависящими от координаты.Решение задачи представляется в виде предела кратных интегралов от элементарных функций, содержащих коэффициенты уравнения и начальные условия, при возрастании кратности к бесконечности. Такие формулы называются "формулами Фейнмана".  Подобные представления решений эволюционных уравнений можно использовать  для непосредственных вычислений и компьютерного моделирования исследуемой динамики. Кроме того, пределы конечнократных интегралов в формулах Фейнмана  совпадают с некоторыми  функциональными интегралами по некоторым вероятностным мерам  на множестве траекторий в тех областях, на которых рассматриваются уравнения. Таким образом, формулы Фейнмана  позволяют аппроксимировать  функциональные интегралы, а следовательно и (обычно не выражающиеся через элементарные функции) переходные вероятности соответствующих случайных процессов. Метод получения формул Фейнмана  для эволюционных уравнений был предложен в работах О.Г. Смолянова и его соавторов  в 1999 - 2003 г.г. Данный метод основан на применении теоремы Чернова и позволяет получать формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для обширного класса эволюционных уравнений на различных геометрических структурах.

В работе рассматривается динамика эволюционной системы при мультипликативном возмущении генератора соответствующей эволюционной полугруппы. Найдена формула (Фейнмана), позволяющая аппроксимировать возмущенную динамику, по исходной. Таким образом, получена новая формула для описания и исследования свойств возмущенной динамики. В некоторых частных случаях найденная формула Фейнмана  дает аппроксимации в виде кратных интегралов только от элементарных функций, что позволяет использовать эту формулу для непосредственных вычислений и компьютерного моделирования исследуемой динамики.