Четвериков Владимир Николаевич

С. 13–40

С. 105-127

Предложен новый метод решения задачи терминального управления для динамических систем. Метод основан на дополнении исходной системы уравнениями на производные управления и переформулировании терминальной задачи в две связанные задачи Коши. Показано, что этот метод применим к плоским системам и обобщает используемый ранее подход. При этом решение задачи терминального управления находится среди решений произвольной определенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений соответствующего порядка. Эта особенность нового метода может быть использована для синтеза программных движений плоских систем с учетом ограничений. Кроме того, на примере продемонстрирована возможность применения этого метода к неплоским системам.

Для четырехмерной модели, описывающей движение вертолета вдоль заданной горизонтальной прямой, решена задача автоматического синтеза программного движения, обеспечивающего перемещение вертолета из заданного состояния покоя в заданное состояние покоя. Время выполнения маневра не задано. Рассматриваемая модель вертолета представляет собой динамическую систему с управлением, которая не является плоской системой, и для таких систем общие подходы к решению терминальных задач в настоящее время неизвестны. Для решения терминальной задачи в работе применяются два подхода. Первый подход основан на использовании конечной симметрии, которая преобразует начальные условия задачи в конечные. Использование такой симметрии позволяет уменьшить количество конечных условий. Второй подход основан на использовании накрытия и заключается в построении специального отображения, которое для двух заданных динамических систем сюръективно отображает множество решений первой системы в множество решений второй системы. Программное движение в этом случае может быть найдено как решение двух связанных специально поставленных задач Коши для этих динамических систем. Полученное программное управление представляет собой кусочно-непрерывную функцию времени.

Исследуются системы, которые композицией преобразования динамической обратной связи с заменой переменных сводятся к линейным управляемым системам. Такие системы образуют наиболее широкий класс систем, для которых разработаны алгоритмы управления. Методами бесконечномерной дифференциальной геометрии получено инвариантное описание алгебры векторных полей, определяющих линеаризующую динамическую обратную связь. Этот результат может быть использован как для проверки динамической линеаризуемости конкретных систем с управлением, так и в теоретических исследованиях для построения примеров динамически линеаризуемых систем с определенными свойствами или для описания всего класса таких систем заданной размерности.

Рассматривается летательный аппарат с четырьмя винтами (четырехвинтовой вертолет). Винты закреплены на двух балках жестко скрепленных посередине. Винты на разных балках вращаются в противоположных направлениях. Изменения сил тяги винтов позволяют управлять движением вертолета. Математическая модель такого летательного аппарата представляет собой динамическую систему с 12-мерным состоянием и 4-мерным управлением. В статье строится динамическая обратная связь, линеаризующая данную систему. Используя ее, решаются задачи терминального управления и стабилизации на этапах взлета и посадки. Допустимость найденного управления проверяется. Результаты численного моделирования демонстрируют эффективность данного подхода.

Плоскими называют системы с управлением, обладающие линеаризующим выходом. Решения такой системы выражаются через функции линеаризующего выхода и конечного набора их производных в силу системы. Такой выход позволяет синтезировать алгоритм управления в виде динамической обратной связи. В статье задача проверки плоскостности исследована методами бесконечномерной дифференциальной геометрии. Ранее эта задача была переформулирована как задача поиска обратимого дифференциального оператора, который преобразует столбец известных 1-форм в столбец точных 1-форм. В статье выведено уравнение для такого оператора. Разрешимость этого уравнения означает плоскостность системы.